пятница, 29 марта 2013 г.

В каком месте построить ещё один мост?

Хорошее продолжение задачи о строительстве моста. Есть два дома: A и B. Между ними протекает река, через которую нужно построить мост. Мост должен быть перпендикулярен берегам реки. Расстояния от домов до ближайших к ним берегов разное. Требуется выбрать для моста такое место, чтобы расстояние от каждого из домов до ближайшего к нему въезда на мост было одинаковым.
Мост
update
Первым правильно ответил TheTriomo.
Ответ
Находим точку C. Далее строим серединный перпендикуляр к AC, который будет пересекать левый берег в точке D. Искомым мостом будет DE. Легко проверить, что AD=BE.
Геометрия

четверг, 28 марта 2013 г.

Красный и зелёный

Светофор с двумя сигналами
На участке дороги расположены один за другим два одинаковых светофора. У светофоров по два сигнала: красный и зелёный. Промежуток времени, когда горит зелёный свет, составляет 2/3 всего времени работы светофора. Если автомобилист, двигаясь с обычной скоростью, проезжает на зелёный свет первый светофор, то в трёх случаях из четырёх и у второго светофора горит разрешающий сигнал. Какова вероятность того, что на втором светофоре будет гореть красный сигнал, если автомобилист проедет на красный первый светофор?

update
Первый - TheTriomo.
Ответ
1/2.
Всего возможно четыре комбинации сигналов светофоров:
* оба зелёные (вероятность p1);
* первый - зелёный, второй - красный (вероятность p2);
* первый - красный, второй - зелёный (вероятность p3);
* оба красные (вероятность p4);
Так как каждый из светофоров даёт зелёный свет 2/3 вермени, то
p1 + p2 = 2/3
p1 + p3 = 2/3
Если первый светофор горит зелёным, то вероятность того, что и второй загорится зелёным (когда к нему подъедет автомобилист), равна 3/4:
p1/(p1 + p2) = 3/4
И четвёртое уравнения для системы:
p1 + p2 + p3 + p4 = 1
Решая получившуюся систему из четырёх уравнений, получаем:
p1 = 1/2
p2 = p3 = p4 = 1/6
Искомая нами вероятность рассчитывается следующим образом:
p4/(p3 + p4) = 1/2

Какую схему турнира выбрать рыцарю?

среда, 27 марта 2013 г.

Монета с царапиной

Один рубль
Имеется 15 одинаковых с виду монет. Одна из них отличается по весу от остальных 14. Тяжелее она или легче - неизвестно. При этом одну из 14 монет с нормальным весом можно легко опознать, так как на ней есть царапина. Как найти монету, которая отличается по весу от остальных, не более чем за три взвешивания на чашечных весах без гирь.

update
Первый - Илья.
Ответ
Важно, что монету отличную по весу нужно просто найти, определять её относительный вес не требуется. В схеме взвешиваний, показанной на рисунке, невозможно указать вес монеты с номером 15. Монета с царапиной идёт под номером 10.
Ответ на головоломку со взвешиванием

вторник, 26 марта 2013 г.

Шахматная разминка

Задача за авторством В. Чепижного, 1997 год. Белые в раздумье - какую бы фигуру лучше сделать. От них требуется начать и поставить мат в два хода.
Мат в два хода
update
Первый - 67108864.
Ответ
1. a8С! Кe8 2. Сac6X
1. ... Kс8 2. Сe6X

воскресенье, 24 марта 2013 г.

6 литров

С помощью двух вёдер, емкостью 9 и 4 литров, из колодца нужно принести ровно 6 литров воды. Как это сделать за указанное в таблице количество операций?
Головоломка с переливанием
update
Первый - Andrew Antonets.
Ответ

Два ведра и колодец

суббота, 23 марта 2013 г.

Крылатые 2

На этом рисунке зашифровано семь крылатых выражений. Назовите их.
Идиомы
update
Ответ
Жить на широкую ногу.
Втирать очки.
Отложить в долгий ящик.
Буриданов осёл.
Повесить нос (на квинту).
Гвоздь программы.
Улыбка авгуров.

четверг, 21 марта 2013 г.

Актуальный юмор

На рисунке показана часть карикатуры из журнала "Крокодил". Начало 30-х годов прошлого века, но, по большому счёту, актуально и для наших дней. Что высмеивает автор?
Карикатура из журнала Крокодил
update
Угадано совместными усилиями.
Ответ
Карикатура

Ещё одна карикатура из того же журнала.

понедельник, 18 марта 2013 г.

Турнир

Рыцарь
Для вступления в орден Золотого руна рыцарю нужно выиграть турнир. Он должен провести три боя и одержать как минимум две победы подряд. Претендент может выбрать одну из двух схем турнира:
1) соперник из ордена Подвязки - соперник из ордена Чертополоха - соперник из ордена Подвязки.
2) соперник из ордена Чертополоха - соперник из ордена Подвязки - соперник из ордена Чертополоха.
Известно, что в каждом из орденов рыцари равны по силе между собой. Однако, рыцари из ордена Подвязки сильнее рыцарей из ордена Чертополоха.
Какую из схем турнира выбрать рыцарю, чтобы увеличить свои шансы вступления в орден Золотого руна?
update
Первый - Константин Кноп.
Ответ
Первую схему.
Пусть p1 - вероятность победы над рыцарем Подвязки, а p2>p1 - вероятность победы над рыцарем Чертополоха. Для каждой схемы благоприятными исходами являются три выигрыша, два выигрыша + проигрыш и проигрыш + два выигрыша. То бишь вероятность выигрыша для одной схемы равна p1*p2*p1 + p1*p2*(1-p1)+(1-p1)*p2*p1 = p1*p2*(2-p1), а для другой - соответственно, p1*p2*(2-p2). Поскольку p2>p1, то 2-p2 < 2-p1, и для первой схемы вероятность выигрыша больше.

пятница, 15 марта 2013 г.

3+2=8

На столе лежат три спички. Как к ним прибавить ещё две и при этом получить восемь?
Три спички
update
Быстрее всех был Waleriy.
Ответ
Ответ на головоломку со спичками

среда, 13 марта 2013 г.

Две монеты

Две серебряные монеты
На столе лежат две серебряные монеты одинаковой толщины. В столе имеется отверстие. Диаметр первой монеты точно совпадает с диаметром отверстия. Вторая монета меньше первой. И если её подталкивать к отверстию, то она начинает крениться в тот самый момент, когда её край достигает центра отверстия. Первая монета весит 10 грамм. Сколько весит вторая монета?
update
Первым был Andrew Antonets.
Ответ
5 грамм.
На рисунке показан момент, когда край монеты (точка С) совпадает с центром отверстия. В это время монета начинает крениться над отверстием. Видно, что диаметр AD монеты совпадает с хордой отверстия, а точка B - центр монеты. Пусть длина радиуса монеты AB=BC=1. Тогда легко вычислить, что радиус отверстия AC=CD равен квадратному корню из 2. Так как толщина монет одинакова, то их веса будут пропорциональны площадям, которые в свою очередь пропорциональны квадратам их радиусов. Получается, что большая монета тяжелее меньшей в (sqrt(2))^2 раз, то есть в 2 раза. Следовательно, вес меньшей монеты равен 10/2 = 5 грамм.
Ответ к задаче про монету

И ещё немного геометрии:
Найдите площадь фигуры.
Найдите объём Солнца.

понедельник, 11 марта 2013 г.

Шашечки

Игровое поле состоит из 15 ячеек. Играют двое. Играющий красной фишкой начинает с ячейки №1, играющий синей - с ячейки №15. Игроки ходят по очереди, первым ходит "красный". Ход состоит в перемещении фишки на соседнюю ячейку по одной из чёрных линий, которые соединяют ячейки. Цель игры для "красного" - захватить фишку "синего", то есть поставить свою фишку на ячейку, занятую синей фишкой. Причём сделать это нужно в течение семи ходов. Соответственно, цель "синего" - не дать "красному" захватить свою фишку. Кто выиграет при правильной игре и как он должен играть?
Поле для игры
update
Ответ Dendrа в комментариях.

пятница, 8 марта 2013 г.

Крылатые

Крылатое выражение
Издревле кустари делали посуду из дерева. Так, чтобы сделать ложку, нужно было отколоть от полена чурку. Заготовкой таких чурок занимались подмастерья, так как это дело лёгкое и не требовало особого умения. Как назывались такие чурки и какая поговорка родилась в связи с процессом их заготовки?
Древние римляне считали, что в каждом доме живут свои боги, которые охраняют его. Этих богов почитали и даже угощали пищей со своего стола. Они были символами дома. Интересно, что и в настоящее мы иногда вспоминаем об этих богах произнося их название. При каких обстоятельствах это обычно происходит?
Как-то раз читателей одной из газет очень привлекли изображения приключений мальчика. Через некоторое время тот же персонаж появился и в другой газете. Между редакциями разгорелся спор. А какого цвета была рубашка у главного героя этих изображений?

update
Первые - Евгений Бикмаев и van.
Ответ
1) Баклуши. Поговорка - бить баклуши.
2) При возвращении в родной дом (богов звали "пенатами").
3) Жёлтого (после этого случая появилось выражение "жёлтая пресса").

Ещё немного пословиц.

четверг, 7 марта 2013 г.

Арабская пословица

Что здесь написано?
Обман зрения
update
Первым был svarog-777.
Ответ
Пословицу можно прочитать, если посмотреть на монитор под острыми углами.

"Каждое дело имеет свой ..."
"... конец"

воскресенье, 3 марта 2013 г.

Плитка

Плиточный пол
Пол прямоугольной формы выложен квадратной плиткой. Сторона плитки равна 1. Размеры пола при этом 231x93. Если провести диагональ из одного угла комнаты в другой, то внутри скольких плиток будет проходить эта линия (то есть пересекать их)?
Заодно, сколько распилов потребуется?


update
Первым был sayressmith.
Ответ
321.
Когда диагональ входит в новую плитку, то каждый раз пересекает горизонтальную или вертикальную линию. Но когда диагональ пересекает угол плитки, она пересекает две линии, хотя входит только в одну плитку. Такие углы являются углами прямоугольников, диагонали которых находятся на главной диагонали. Число таких прямоугольников равняется наибольшему общему делителю 231 и 93, то есть 3. Учитывая выше сказанное, число пересеченных плиток можно найти так: 231+93-3=321.

суббота, 2 марта 2013 г.

Три хода

Чёрный король спрятался в углу. Дело за малым - белые начинают и ставят мат в три хода.
А. Галицкий
update
Первым был Andrew Antonets.
Ответ
1. Сf6, gf
2. Крf8, f5
3. Кf7X